Примеры решения квадратных уравнений

Содержание:

Структура социальной системы

Все элементы социальной системы пребывают в определённых отношениях. Их взаимосвязи образуют устойчивую структуру, обеспечивающую целостность всей системы. Американский социолог Толкотт Парсонс выделил следующие требования к социальным системам:

  • Адаптация. Приспособленность к среде, а также способность адаптироваться к новым обстоятельствам при необходимости.
  • Целедостижение. Наличие целей и механизмов, обеспечивающих их достижение.
  • Интеграция. Все элементы системы не просто взаимосвязаны, но и скоординированы.
  • Поддержание образца. Ценности сохраняются при смене поколений.

Парсонс утверждает, что общество – это особый тип социальной системы, целостность которого поддерживается подсистемами. Каждая из подсистем при ближайшем рассмотрении оказывается самостоятельной социальной системой. По мнению Парсонса, есть четыре таких подсистемы, каждая из которых отвечает за одно из перечисленных выше требований. За адаптацию отвечает экономика, за целедостижение – политика, за поддержание образца – культура, а за интеграцию – социетальная система (система отношений и процессов на уровне общества).

Квадратные уравнения

Квадратное уравнение — уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a, b, c$ — некоторые числа a$≠0$, $x$ — неизвестное. Перед тем как решать уравнение, необходимо раскрыть скобки и собрать все слагаемые в левой части уравнения.

Числа $a, b, c$ называются коэффициентами квадратного уравнения.

  • $a$ — старший коэффициент;
  • $b$ — средний коэффициент;
  • $c$ — свободный член.

Если в квадратном уравнении коэффициенты $b$ и $c$ не равны нулю, то уравнение называется полным квадратным уравнением. Например, уравнение $2x^2 – 8x + 3 = 0$. Если один из коэффициентов $b$ или $c$ равен нулю или оба коэффициента равны нулю, то квадратное уравнение называется неполным. Например, $5x^2 – 2x = 0$.

Решение неполных квадратных уравнений

Неполное квадратное уравнение имеет вид $ax^2 + bx = 0$, если $a$≠0$; $c$=0$. В левой части этого уравнения есть общий множитель $x$.

1. Вынесем общий множитель $x$ за скобки.

Мы получим $x (ax + b) = 0$. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому получаем $x = 0$ или $ax + b =0$. Таким образом, данное уравнение эквивалентно двум уравнениям:

$x = 0; ax + b = 0$

2. Решаем получившиеся уравнения каждое отдельно.

Мы получим $x = 0$ и $x={-b}/{a}$. Следовательно, данное квадратное уравнение имеет два корня $x = 0$ и $x={-b}/{a}$

$4х^2 — 5х = 0$

Вынесем х как общий множитель за скобки:

$х (4х — 5) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю и найдем корни уравнения.

$x = 0$ или $4х — 5 = 0$

$х_1 = 0   х_2 = 1,25$

Ответ: $х_1 = 0; х_2 = 1,25$

Неполное квадратное уравнение вида $ax^2 + c = 0, a≠0, b=0$

Для решения данного неполного квадратного уравнения выразим $x^2$.

$ax^2 + c = 0$

$ax^2 = — c$

$x_2 = {-c}/{a}$

При решении последнего уравнения возможны два случая:

если ${-c}/{a}>0$, то получаем два корня: $x = ±v{{-c}/{a}}$

если ${-c}/{a}<0$, то уравнение во множестве действительных числе не имеет решений.

$x^2 — 16 = 0$

$x^2 = 16$

$x = ±4$

Ответ: $х_1 = 4, х_2 = — 4$

Решение с помощью дискриминанта

Дискриминантом квадратного уравнения D называется выражение

$b^2 — 4ac$.

При решении уравнения с помощью дискриминанта возможны три случая:

1. $D > 0$. Тогда корни уравнения равны:

$x_{1,2}={-b±√D}/{2a}$

2. $D = 0$. В данном случае решение даёт два двукратных корня:

$x_{1}=x_{2}={-b}/{2a}$

3. $D < 0$. В этом случае уравнение не имеет корней.

$3х^2 — 11 = -8х$

Соберем все слагаемые в левую часть уравнения и расставим в порядке убывания степеней

$3х^2 + 8х — 11 = 0$

$a = 3 ,b = 8, c = — 11$

$D = b^2- 4ac = 82- 4 · 3 · (-11) = 196 = 142$

$x_{1}={-b+√D}/{2a}={-8+14}/{6}=1$

$x_{2}={-b-√D}/{2a}={-8-14}/{6}=-3{2}/{3}$

Ответ: $x_1=1, x_2=-3{2}/{3}$

Устные способы

Если сумма коэффициентов равна нулю $(а + b + c = 0)$, то $х_1= 1, х_2={с}/{а}$

$4х^2+ 3х — 7 = 0$

$4 + 3 — 7 = 0$, следовательно $х_1= 1, х_2=-{7}/{4}$

Ответ: $х_1= 1, х_2 = -{7}/{4}$

Если старший коэффициент в сумме со свободным равен среднему коэффициенту $(a + c = b)$, то $х_1= — 1, х_2=-{с}/{а}$

$5х^2+ 7х + 2 = 0$

$5 + 2 = 7$, следовательно, $х_1= -1, х_2 =-{2}/{5}$

Ответ: $х_1= -1, х_2 = -{2}/{5}$

Кубические уравнения

Для решения простых кубических уравнений необходимо обе части представить в виде основания в третьей степени. Далее извлечь кубический корень и получить простое линейное уравнение.

$(x — 3)^3 = 27$

Представим обе части как основания в третьей степени

$(x — 3)^3 = $33

Извлечем кубический корень из обеих частей

$х — 3 = 3$

Соберем известные слагаемые в правой части

$x = 6$

Ответ: $х = 6$

Дробно рациональные уравнения

Рациональное уравнение, в котором левая или правая части являются дробными выражениями, называется дробным.

Чтобы решить дробное уравнение, необходимо:

  1. найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
  2. умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
  3. решить получившееся целое уравнение;
  4. исключить из его корней те, которые обращают в ноль общий знаменатель.

$4x + 1 — {3}/{x} = 0$

1. находим значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)

$x≠0$

2. находим общий знаменатель дробей и умножаем на него обе части уравнения

$4x + 1 — {3}/{x}= 0¦· x$

$4x · x + 1 · x — {3·x}/{x} = 0$

3. решаем полученное уравнение

$4x^2 + x — 3 = 0$

Решим вторым устным способом, т.к. $а + с = b$

Тогда $х_1 = — 1, х_2 = {3}/{4}$

4. исключаем те корни, при которых общий знаменатель равен нулю В первом пункте получилось, что при $x = 0$ уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.

Ответ: $х_1 = — 1, х_2 = {3}/{4}$

При решении уравнения с двумя дробями можно использовать основное свойство пропорции.

Основное свойство пропорции: Если ${a}/{b} = {c}/{d}$, то $a · d = b · c$

Понятие предела в математике

Первый вопрос: что это вообще за предел и предел чего? Можно говорить о пределах числовых последовательностей и функций. Нас интересует понятие предела функции , так как именно с ними чаще всего сталкиваются студенты. Но сначала — самое общее определение предела:

Звучит громоздко, но записывается очень просто:

Lim — от английского limit — предел.

Существует также геометрическое объяснение определения предела, но здесь мы не будем лезть в теорию, так как нас больше интересует практическая, нежели теоретическая сторона вопроса. Когда мы говорим, что х стремится к какому-то значению, это значит, что переменная не принимает значение числа, но бесконечно близко к нему приближается.

Приведем конкретный пример. Задача — найти предел.

Чтобы решить такой пример, подставим значение x=3 в функцию. Получим:

Кстати, если Вас интересуют базовые операции над матрицами, читайте отдельную статью на эту тему.

В примерах х может стремиться к любому значению. Это может быть любое число или бесконечность. Вот пример, когда х стремится к бесконечности:

Интуитивно понятно, что чем больше число в знаменателе, тем меньшее значение будет принимать функция. Так, при неограниченном росте х значение 1/х будет уменьшаться и приближаться к нулю.

Как видим, чтобы решить предел, нужно просто подставить в функцию значение, к которому стремиться х. Однако это самый простой случай. Часто нахождение предела не так очевидно. В пределах встречаются неопределенности типа 0/0 или бесконечность/бесконечность. Что делать в таких случаях? Прибегать к хитростям!

Правописание наречий с дефисом

Через дефис пишутся:

  • наречия на -ому, -ему, -ки, -ски, -ьи с приставкой по- (по-другому, по-хорошему, по-русски);
  • в наречиях на -ых, -их с приставкой во-, в-, которые образованы от порядковых числительных (во-первых);
  • в неопределенных наречиях с приставкой кое- и суффиксами -то/-либо/-нибудь/-таки/-ка (где-то, как-то);

Еще дефис используют, когда есть:

  • повторение слов и основ слов (еле-еле, волей-неволей, как-никак);
  • сочетание синонимических слов (нежданно-негаданно).

Приставка по- пишется слитно:

  • в наречиях, которые образованы от прилагательных с помощью приставки и суффиксов -у, -еньку, -оньку (попросту, потихоньку);
  • с формами сравнительной степени наречий (повыше);

Слитно пишутся наречия, которые образованы:

  • соединением предлогов с наречиями (извне, навсегда);
  • соединением предлогов в и на с собирательными числительными (вдвое, втрое);
  • соединением предлогов с полными прилагательными (вкрутую);
  • соединением предлога и существительного (наверх, вследствие);
  • через соединение предлога с вопросительными и указательными местоимениями (почему, отчего).

Раздельно пишутся наречия, образованные из предлога в и полного прилагательного с первой гласной буквой (в открытую).

Повторим два исключения в образовании окончаний -s/-es у глаголов

Если глагол заканчивается на -ss (pass), -zz (buzz), -x (fix), -sh (wash), -ch (teach), -о (go), прибавляем к нему окончание -es: passes, buzzes, fixes, washes, teaches, goes. 

Если глагол заканчивается на гласную и -y (play), просто прибавляем окончание -s: plays

Если глагол заканчивается на согласную и -y (cry), окончание -y меняем на -ie и прибавляем -s: cries 

  • Bob (he) washes dishes. — Боб моет посуду.
  • Mary (she) plays piano. — Мэри играет на пианино. 

Лайфхак: как запомнить. He, she, it в английском — всегда богачи. Когда употребляем их с глаголом, добавляем $. Доллар похож на букву S, правда? 

А если в предложении вместо понятных he, she, it — Bob, Mary или table (стол), задавайте вопрос «Кто это?» или «Что это?». Если ответ — «он», «она» или «оно» — добавляйте окончание -s/-es. 

Формула Пуассона

При большом числе испытаний n и малой вероятности р формулой Бернулли пользоваться неудобно. Например, 0.97999 вычислить весьма затруднительно.

В этом случае для вычисления вероятности того, что в n испытаниях событие произойдет k раз, используют формулу Пуассона:

Здесь λ = np обозначает среднее число появлений события в n испытаниях.

Эта формула дает удовлетворительное приближение для  p ≤ 0,1 и np ≤10.

События, для которых применима формула Пуассона, называют редкими, так как вероятность, что они произойдут — очень мала (обычно порядка 0,001-0,0001).

При больших np рекомендуют применять формулы Лапласа, которую рассмотрим чуть позже.

Пример. В айфоне 1000 разных элементов, которые работают независимо друг от друга. Вероятность отказа любого элемента в течении времени Т равна 0,002. Найти вероятность того, что за время Т откажут ровно три элемента.

Как решаем:

  1. По условию дано: n = 1000, p = 0,002, λ = np = 2, k = 3.
  2. Искомая вероятность после подстановки в формулу:

P1000(3) = λ3/3! * e−λ =  23/3! * e−2 ≈ 0,18.

Ответ: ориентировочно 0,18.

Правила пунктуации со словом «например»

Для правильной постановки знаков препинания необходимо также принимать во внимание контекст и смысл фразы целиком:

  1. Со значением уточнения, пояснения слово отделяется при помощи запятых с обеих сторон, если находится в середине предложения. При позиции в начале или в конце – одной запятой.
  2. Слово «например» в начале обособленного оборота запятой от этого оборота не отделяется.
  3. Когда обособленный оборот заключен в скобки, то запятая после «например» ставится.
  4. Если за словом «например» следуют однородные члены предложения, впереди оно отделяется запятой, а после него ставится двоеточие.
  5. В сочетании «как например» запятая не ставится в случае последующего перечисления.
  6. Если перечисление отсутствует, то «например» выделятся запятыми с обеих сторон.

Примеры предложений

  1. Завтра, например, ожидаются осадки.
  2. Существуют разные виды спорта. Например, теннис.
  3. Я люблю зелень. Петрушку, например.
  4. В некоторых городах, например, в Сиднее, проходили Олимпийские игры.
  5. В некоторых городах (например, в Сиднее) проходили Олимпийские игры.
  6. Я посетил разные страны, например, Италию, Францию, Канаду, Тайланд.
  7. Некоторые фрукты, как, например, лимон, апельсин, лайм… называются цитрусовыми.
  8. Существуют гуманитарные дисциплины, как, например, история.

Виды и примеры социальных систем

Социологи используют несколько способов классификации, позволяющих группировать социальные системы по определённым признакам. Рассмотрим основные из этих классификаций, а так же примеры каждой из них.

1. По генетическому признаку

Данный признак позволяет разделить все социальные системы на две большие группы:

  • Материальные. Это сообщества людей, объединённых определёнными связями. В эту группу входят такие системы как семья, рабочий коллектив, сельские и муниципальные общины, государства, экономические союзы и военно-политические блоки.
  • Идеальные. Это системы ценностей и взглядов, связанные с познанием окружающего мира. В эту группу входят такие системы как духовный мир личности, традиции и ценности небольших социальных групп, идеологии, религии, мировоззрения и прочее.

2. По форме

По этому признаку все социальные системы делятся на 4 типа:

  • Малые. В эту группу входят отдельные социальные объекты (индивид) и небольшие сообщества (семья, коллектив, малая социальная группа). Такие системы имеют простую структуру, взаимоотношения между всеми их элементами заведомо понятны для всех участников.
  • Средние. В средней системе обычно присутствуют группы элементов, взаимоотношения между которыми подразумевают определённую субординацию. К таковым относятся, например, структура местной экономики или структура местной власти.
  • Большие. К большим относятся социальные системы, подразумевающие сложную иерархию отношений между составляющими их элементами (например, политическая система государства или экономика страны).
  • Сложные. В эту группу входят системы, состоящие из нескольких больших систем (содружества государств, экономические блоки, цивилизации).

3. По характеру взаимодействия

По данному признаку социальные системы условно делятся на две группы:

  • Открытые. Такие системы активно взаимодействуют с окружающим миром. Они подвержены влиянию внешних факторов и сами оказывают влияние на окружающие их системы. К примеру, спортивная ассоциация представляет собой открытую социальную систему, взаимодействующую с аналогичными ассоциациями других стран.
  • Закрытые. Несмотря на наличие такого типа, полностью закрытых социальных систем не существует. Обычно к этой группе относят системы, для которых сильно ограничено их взаимодействие с окружающим миром. Самый очевидный пример – исправительные заведения, внутри которых формируется социальная система, практически полностью изолированная от общества.

4. По характеру процессов

В любой социальной системе непрерывно протекают определённые процессы, подразумевающие различные формы взаимодействия между элементами. По типу этих процессов все системы можно разделить на две группы:

  • Вероятностные. В таких системах невозможно предусмотреть все варианты взаимодействия элементов между собой. Это не означает, что таких вариантов может быть бесконечно много, просто их количество не определено.
  • Детерминированные. Если в социальной системе заведомо предусмотрены все варианты взаимодействия, она называется детерминированной. К примеру, в правовой системе четко прописаны права и обязанности взаимодействующих субъектов, а также последствия нарушений.

Задачи на пропорции с решением и ответами

Свойства пропорции придумали не просто так! С их помощью можно найти любой из членов пропорции, если он неизвестен. Решим 10 задач на пропорцию.

Задание 1. Найти неизвестный член пропорции: x/2 = 3/1

Как решаем:

В этом примере неизвестны крайние члены, поэтому умножим средние члены и разделим полученный результат на известный крайний член:

x = (2 * 3)/1 = 6

Ответ: x = 6.

Задание 2. Найти неизвестный член: 1/3 = 5/y

Как решаем:

y = (3 * 5)/1 = 15

Ответ: y = 15.

Задача 3. Решить пропорцию: 30/x = 5/8

Как решаем:

x = (30 * 8)/5 = 48

Ответ: x = 48.

Задание 4. Решить: 7/5 = y/10

Как решаем:

y = (7 * 10)/5 = 14

Ответ: y = 14.

Задание 5. Известно, что 21x = 14y. Найти отношение x — к y

Как решаем:

  • Сначала сократим обе части равенства на общий множитель 7: 21x/7 = 14y/7.

    Получим: 3x = 2y.

  • Теперь разделим обе части на 3y, чтобы в левой части убрать множитель 3, а в правой части избавиться от y: 3x/3y = 2y/3y.
  • После сокращения отношений получилось: x/y = 2/3.

Ответ: 2 к 3.

На следующем примере мы узнаем как составить пропорцию по задаче

Задание 6. Из 300 подписчиков в инстаграм 108 человек — поставили лайк под постом. Какой процент всех подписчиков составляют те, кому понравился пост и они поставили лайк?

Как решаем:

  • Примем всех подписчиков за 100% и запишем условие задачи кратко:

    300 — 100%

    108 — ?%

  • Составим пропорцию: 300/108 = 100/x.
  • Найдем х: (108 * 100) : 300 = 36.

Ответ: 36% всех подписчиков поставили лайк под постом.

Задание 7. Подруга Гарри Поттера при варке оборотного зелья использовала водоросли и пиявки в отношении 5 к 2. Сколько нужно водорослей, если есть только 450 грамм пиявок?

Как решаем:

  • Составим пропорцию: 5/2 = x/450.
  • Найдем х: (5 * 450) : 2 = 1125.

Ответ: на 450 грамм пиявок нужно взять 1125 гр водорослей.

Задание 8. Известно, что арбуз состоит на 98% из воды. Сколько воды в 5 кг арбуза?

Как решаем:

Вес арбуза (5 кг) составляет 100%. Вода — 98% или х кг.

Составим пропорцию:

5 : 100 = х : 98

х = (5 * 98) : 100

х = 4,9

Ответ: в 5 кг арбуза содержится 4,9 кг воды.

Перейдем к примерам посложнее. Рассмотрим задачу на пропорции из учебника по алгебре за 8 класс.

Задание 9. Папин автомобиль проезжает от одного города до другого за 13 часов со скоростью 75 км/ч. Сколько времени ему понадобится, если он будет ехать со скоростью 52 км/ч?

Как рассуждаем:

Скорость и время связаны обратно пропорциональной зависимостью: чем больше скорость, тем меньше времени понадобится.

Обозначим:

  • v1 = 75 км/ч
  • v2 = 52 км/ч
  • t1 = 13 ч
  • t2 = х

Как решаем:

  1. Составим пропорцию: v1/v2 = t2/t1.

    Соотношения равны, но перевернуты относительно друг друга.

  2. Подставим известные значения: 75/52 = t2/13

    t2 = (75 * 13)/52 = 75/4 = 18 3/4 = 18 ч 45 мин

Ответ: 18 часов 45 минут.

Задание 10. 24 человека за 5 дней раскрутили канал в телеграм. За сколько дней выполнят ту же работу 30 человек, если будут работать с той же эффективностью?

Как рассуждаем:

1. В заполненном столбце стрелку ставим в направлении от большего числа к меньшему.

2. Чем больше людей, тем меньше времени нужно для выполнения определенной работы (раскрутки канала). Значит, это обратно пропорциональная зависимость.

3. Поэтому направим вторую стрелку в противоположную сторону. Обратная пропорция выглядит так:

Как решаем:

  1. Пусть за х дней могут раскрутить канал 30 человек. Составляем пропорцию:

    30 : 24 = 5 : х

  2. Чтобы найти неизвестный член пропорции, нужно произведение средних членов разделить на известный крайний член:

    х = 24 * 5 : 30

    х = 4

  3. Значит, 30 человек раскрутят канал за 4 дня.

Ответ: за 4 дня.

Формула корней для четных вторых коэффициентов

Рассмотрим частный случай. Формула решения корней квадратного уравнения , где D = b2 — 4ac, помогает получить еще одну формулу, более компактную, при помощи которой можно решать квадратные уравнения с четным коэффициентом при x. Рассмотрим, как появилась эта формула.

Например, нам нужно решить квадратное уравнение ax2 + 2nx + c = 0. Сначала найдем его корни по известной нам формуле. Вычислим дискриминант D = (2n)2- 4ac = 4n2 — 4ac = 4(n2- ac) и подставим в формулу корней:

Для удобства вычислений обозначим выражение n2 -ac как D1. Тогда формула корней квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2·n примет вид:

где D1 = n2- ac.

Самые внимательные уже заметили, что D = 4D1, или D1= D/4. Проще говоря, D1 — это четверть дискриминанта. И получается, что знак D1 является индикатором наличия или отсутствия корней квадратного уравнения.

Сформулируем правило. Чтобы найти решение квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2n, нужно:

  • вычислить D1= n2- ac;
  • если D1< 0, значит действительных корней нет;
  • если D1= 0, значит можно вычислить единственный корень уравнения по формуле;
  • если же D1> 0, значит можно найти два действительных корня по формуле

Упрощаем вид квадратных уравнений

Если мы ходили в школу всегда одной тропинкой, а потом вдруг обнаружили путь короче — это значит теперь у нас есть выбор: упростить себе задачу и сократить время на дорогу или прогуляться по привычному маршруту.

Так же и при вычислении корней квадратного уравнения. Ведь проще посчитать уравнение 11×2 — 4 x — 6 = 0, чем 1100×2 — 400x — 600 = 0.

Часто упрощение вида квадратного уравнения можно получить через умножение или деление обеих частей на некоторое число. Например, в предыдущем абзаце мы упростили уравнение 1100×2 — 400x — 600 = 0, просто разделив обе части на 100.

Такое преобразование возможно, когда коэффициенты не являются взаимно простыми числами. Тогда принято делить обе части уравнения на наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов.

Покажем, как это работает на примере 12×2- 42x + 48 = 0. Найдем наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов: НОД (12, 42, 48) = 6. Разделим обе части исходного квадратного уравнения на 6, и придем к равносильному уравнению 2×2 — 7x + 8 = 0. Вот так просто.

А умножение обеих частей квадратного уравнения отлично помогает избавиться от дробных коэффициентов. Умножать в данном случае лучше на наименьшее общее кратное знаменателей его коэффициентов. Например, если обе части квадратного уравнения

умножить на НОК (6, 3, 1) = 6, то оно примет более простой вид x2 + 4x — 18 = 0.

Также для удобства вычислений можно избавиться от минуса при старшем коэффициенте квадратного уравнения — для этого умножим или разделим обе части на −1. Например, удобно от квадратного уравнения −2×2- 3x + 7 = 0 перейти к решению 2×2 + 3x — 7 = 0.

Связь между корнями и коэффициентами

Мы уже запомнили, что формула корней квадратного уравнения выражает корни уравнения через его коэффициенты:

Из этой формулы, можно получить другие зависимости между корнями и коэффициентами.

Например, можно применить формулы из теоремы Виета:

  • x₁ + x₂ = — b/a,
  • x₁* x₂ = c/a.

Для приведенного квадратного уравнения сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней — свободному члену. Например, по виду уравнения 3×2- 7x + 22 = 0 можно сразу сказать, что сумма его корней равна 7/3, а произведение корней равно 22/3.

Можно активно использовать уже записанные формулы и с их помощью получить ряд других связей между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Таким образом можно выразить сумму квадратов корней квадратного уравнения через его коэффициенты:

А еще найти корни квадратного уравнения можно с помощью онлайн-калькулятора. Пользуйтесь им, если уже разобрались с темой и щелкаете задачки легко и без помощников:

  • Калькулятор раз
  • Два
  • Три

Вынесение множителя из-под знака корня

С тем, как вносить множитель под корень мы, кажется, разобрались. Но алгебра — такая алгебра, поэтому теперь неплохо бы и вынести множитель из-под знака корня.

Дано выражение в виде квадратного корня из произведения.

Вы уже наверняка без труда извлекаете квадратный корень из чего угодно, поэтому знаете, что делать.

Извлекаем корень из всех имеющихся множителей. 

В данном выражении квадратный корень мы можем извлечь только из 4, поэтому:

Таким образом множитель выносится из-под знака корня.

Давайте разберем примеры. Попробуйте вынести множители из-под знака корня самостоятельно, сверяясь с ответами.

  1. √28
    Раскладываем подкоренное выражение на множители 28 = 7*4.
    Извлекаем корень из 4. Множитель 7 оставляем под знаком корня.
  2. Ответ: по правилу извлечения квадратного корня из произведения,
    Так как вынесенный множитель должен стоять перед подкоренным знаком, то меняем их местами.

  3. Вынесите множитель из-под знака корня в выражении: √24
    Ответ: Раскладываем выражение под корнем на множители 24 = 6 * 4.
  4. Упростите выражение:
    Вынесем в двух последних выражения множитель из-под знака корня.
    Умножаем (-4 * 4) = -16. Все остальное выражение записываем в неизменном виде.
    Мы видим, что во всем выражении есть один общий множитель — √5.
    Выносим общий множитель за скобки:
    Далее вычисляем все, что в скобках:

Качественные прилагательные

Как мы видим в таблице, каждый разряд прилагательных имеет свои признаки, и в данную группу входят слова, которые описывают качества предмета или явления. Под качествами подразумеваются:

  • размеры (большой, маленький, крупный);
  • вес (легкий, тяжелый, увесистый);
  • цвет (черный, зеленый, красный);
  • вкус (сладкий, соленый, горький);
  • форма (квадратный, овальный, треугольный);
  • температура (холодный, горячий, теплый);
  • физические характеристики (плотный, хрупкий, рыхлый);
  • черты характера (веселый, милосердный, аккуратный).

У качественных, в отличие от других разрядов прилагательных, есть степени сравнения. Превосходную степень можно получить с помощью приставки наи-, а также суффиксов -айш- и -ейш-. Другим способом будет добавление наречий «слишком», «очень», «чрезмерно», «самый» и т. д. Все они органично смотрятся вместе с качественными прилагательными:

  • большой — наибольший, самый большой;
  • сладкий — сладчайший, очень сладкий;
  • тяжелый — тяжелейший, совсем тяжелый;
  • краткий — кратчайший, слишком краткий.

Для усиления эффекта также используется повторение:

  • большой-пребольшой,
  • сильный-пресильный,
  • громкий-прегромкий.

Еще одно характерное отличие качественных прилагательных — наличие краткой формы. Чтобы ее получить, необходимо к основе слова добавить нулевое окончание для мужского рода, окончание -а/я для женского рода и -о/е для среднего рода. Множественное число образуется с помощью окончания -ы/и.

  • Грубый — груб, груба, грубо, грубы.
  • Плавный — плавен, плавна, плавно, плавны.
  • Твердый — тверд, тверда, твердо, тверды.
  • Звонкий — звонок, звонка, звонко, звонки.

Если в конце основы стоят две согласные подряд, в краткой форме появляется беглая гласная:

  • робкий — робок,
  • хрупкий — хрупок,
  • тесный — тесен.

Наконец, ко многим качественным прилагательным несложно подобрать антонимы — чаще всего для этого достаточно приставки не-:

  • веселый — невеселый,
  • яркий — неяркий,
  • вкусный — невкусный.

Подытожим все, что было сказано об этом разряде имени прилагательного, в таблице.

Этого достаточно, чтобы без труда определить качественные прилагательные. Но некоторые из них могут поставить в тупик, потому что они хоть и указывают на качество предмета, но не отвечают всем признаками. Возьмем, например, «красный» — какой разряд прилагательных по значению ему можно присвоить? С одной стороны, его стоит включить в группу качественных, но с другой — превосходная степень «самый красный» звучит странно. Все потому, что в каждом правиле есть исключения.

Важно!
Среди качественных прилагательных есть исключения, которые не имеют степеней сравнения и превосходной формы — это слова, указывающие на постоянный признак предмета или явления. Сюда относятся прилагательные, обозначающие цвет, состояние, форму, социальный статус и некоторые другие характеристики.. Например:

Например:

  • пегая лошадь,
  • красное знамя,
  • квадратная коробка,
  • слепой старик.

Как решать простые уравнения

Чтобы научиться решать простые линейные уравнения, нужно запомнить формулу и два основных правила.

1. Правило переноса. При переносе из одной части в другую, член уравнения меняет свой знак на противоположный.

Для примера рассмотрим простейшее уравнение: x+3=5

Начнем с того, что в каждом уравнении есть левая и правая часть.

Перенесем 3 из левой части в правую и меняем знак на противоположный.

Можно проверить: 2 + 3 = 5. Все верно. Корень равен 2.

Решим еще один пример: 6x = 5x + 10.

Как решаем:

  1. Перенесем 6x из левой части в правую. Знак меняем на противоположный, то есть минус.

    6x −5x = 10

  2. Приведем подобные и завершим решение.

    x = 10

Ответ: x = 10.

2. Правило деления. В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число. Это может ускорить процесс решения. Главное — быть внимательным, чтобы не допустить глупых ошибок.

Применим правило при решении примера: 4x=8.

При неизвестной х стоит числовой коэффициент — 4. Их объединяет действие — умножение.

Чтобы решить уравнение, нужно сделать так, чтобы при неизвестной x стояла единица.

Разделим каждую часть на 4. Как это выглядит:

Теперь сократим дроби, которые у нас получились и завершим решение линейного уравнения:

Рассмотрим пример, когда неизвестная переменная стоит со знаком минус: −4x = 12

Как решаем:

  1. Сократим обе части на −4, чтобы коэффициент при неизвестной стал равен единице.

    −4x = 12 | :(−4)
    x = −3

Ответ: x = −3.

Если знак минус стоит перед скобками, и по ходу вычислений его убрали — важно не забыть поменять знаки внутри скобок на противоположные. Этот простой факт позволит не допустить обидные ошибки, особенно в старших классах

Напомним, что не у каждого линейного уравнения есть решение — иногда корней просто нет. Изредка среди корней может оказаться ноль — ничего страшного, это не значит, что ход решения оказался неправильным. Ноль — такое же число, как и остальные.

Способов решения линейных уравнений немного, нужно запомнить только один алгоритм, который будет эффективен для любой задачки.

Алгоритм решения простого линейного уравнения
  1. Раскрываем скобки, если они есть.
  2. Группируем члены, которые содержат неизвестную переменную в одну часть уравнения, остальные члены — в другую.
  3. Приводим подобные члены в каждой части уравнения.
  4. Решаем уравнение, которое получилось: aх = b. Делим обе части на коэффициент при неизвестном.

Чтобы быстрее запомнить ход решения и формулу линейного уравнения, скачайте или распечатайте схему-подсказку — храните ее в телефоне, учебники или на рабочем столе.

А вот и видео «Простейшие линейные уравнения» для тех, кто учиться в 5, 6 и 7 классе.

Определение показательного уравнения

Показательными называются уравнения с показательной функцией f(x) = aх. Другими словами, неизвестная переменная в них может содержаться как в основании степени, так и в ее показателе. Простейшее уравнение такого вида: aх = b, где a > 0, a ≠ 1.

  • разложение многочлена на множители;
  • свойства степенной функции;
  • решение квадратных уравнений.

Если что-то успело забыться, советуем повторить эти темы перед тем, как читать дальнейший материал.

С точки зрения геометрии показательной функцией называют такую: y = ax, где a > 0 и a ≠ 1

У нее есть одно важное для решения показательных уравнений свойство — это монотонность. При a > 1 такая функция непрерывно возрастает, а при a

Это хорошо видно на рисунке ниже.

Важно знать
Показательная функция не может быть отрицательным числом, т. е

выражение у = ax при а ≤ 0 корней не имеет.

Иногда в результате решения будет получаться несколько вариантов ответа, и в таком случае мы должны выбрать тот корень, при котором показательная функция больше нуля.

Свойства степеней

Мы недаром просили повторить свойства степенной функции — на них будет основано решение большей части примеров. Держите небольшую шпаргалку по формулам, которые помогут упрощать сложные показательные уравнения.

am x an

am+n

am:an

am-n

(a x b)n

an x bn

(a : b)n

an : bn

(an)m

an x m

a-n

1/an

(a/b)-n

(b/a)n

n√a

a1/n

Как видите, ничего нового здесь нет, все это проходят в 6–7 классе.

Как подобрать

На самом деле найти, вспомнить и придумать к разбираемому нами слову синоним не составит особого труда ни для взрослого человека с несколькими высшими образованиями, ни для школьника, если они хорошо понимают, что такое пример.

На самый крайний случай, когда голова совершенно не работает, существует запасной вариант. Это словари, в которых можно отыскать все ответы на вопросы, касающиеся практически любого слова, что регулярно или изредка используется в русской речи.

Благодаря словарям вы узнаете, что такое пример, а также какие синонимы или антонимы к нему можно подобрать. То же самое касается и других слов или словосочетаний, устойчивых выражений, например фразеологизмов. Не напрасно же всевозможные справочники годами составляют, совершенствуют, дополняют и переписывают ведущие филологи и лингвисты России.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Adblock
detector